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從科學發展來看，數學和許多學科都發生過密切的關系，數學的發展和許多學科的發展都起著很相輔相成的作用——就是或者說數學的發展促進了其他學科的發展，或者其他學科向數學提出了許多具體的問題，結果也推動了數學的發展。比如，最早提出博弈論的是馮·諾依曼。二次世界大戰時，德國的空軍很強，飛機數量多，質量也好。為了解決如何以處于劣勢的美國空軍打敗德國空軍的問題，美國就找了一批數學家，馮·諾依曼就在其中。他是個大數學家，結果就是他從這個問題里發展出了博弈論。
關于數學的地位，有的人提出這樣一種說法，認為數學是科學的王后。這個說法很多數學家不贊成。數學并不是孤立于其他學科而高高在上的，而是和其他學科相輔相成，共同促進，共同發展。把數學與其他學科的關系說成是伙伴關系，也許更恰當一些。
我們現在說的數學的定義是恩格斯在《自然辯證法》中提出來的。他說，數學是研究客觀世界的數量關系和空間形式的。恩格斯這個定義是19世紀提的，隨著20世紀數學的發展，很多東西這個定義解決不了。說到數量關系，就是指數學研究數的運算。但隨著數學的發展，數學運算的對象遠遠超出了數。空間形式是指當時被理解為客觀世界的空間形式，也就是我們所說的三維空間。但是，幾何學里的研究已經遠遠超出了三維，涉及到四維、五維、多維甚至無數維。所以拿19世紀的定義來概括數學就顯得很不夠。
解放后，我參加了很多次討論，就是如何給數學下定義。到現在為止，我覺得沒有一個定義是讓人滿意的。這也說明數學的定義很難下。比如有人提出來，數學是研究“量”的，把“數”字去掉。他說，有“數”呢，就顯得太死了。那什么叫“量”呢？我給提出這個概念的人說過，你說的“量”是一個哲學概念。現在又有人說數學研究的是秩序，也就是說，數學的研究就是給這個世界以秩序。想想這種說法也有點道理，但說的還是不大清楚。從這里可以看出一條，數學與其他自然科學和社會科學不一樣，因為數學的研究對象是抽象的。而那些學科都有非常具體的對象，但數學沒有。數學所以能用到自然科學，又能用到社會科學，甚至人文學科，就是因為它是抽象的。數學研究對象的抽象性首先有一條，就是能夠訓練我們一種思維方法——抽象思維方法。數學里即使是從自然數開始，也已經是非常抽象的概念了，要經過很多層抽象才能夠得出來。你要研究數學發展史，就會發現數的概念的形成其實是很不容易的。所以，學數學可以訓練人的抽象思維能力。
抽象這種思想方法為什么這么重要呢？因為我們要把握住一個東西，就必須去掉很多你認為不重要的東西，要舍棄很多非本質的東西，就是必須通過抽象。抽象的思想方法對于研究科學，甚至處理日常生活里出現的問題都是重要的。如果你沒有抽象的能力，你就不容易分清你現在究竟要解決的是什么問題。這是數學突出的特點，即它的抽象性。數學的抽象性使得數學廣泛地應用于很多方面，應用到很多完全不同的方面。
第二個特點，因為數學的抽象性，所以對數學對象必須要講得非常清楚，也就是要下定義。其他學科對定義的要求不太一樣，我們可以大致描述一下那是個什么東西，聽的人就能夠明白。可是數學因為它的對象抽象，簡單地描述是不行的，必須要有嚴格的定義。數學里的定義非常重要，這一點大家都能體會到。我在教學中發現，其他系的老師到數學系講課，往往遇到一個很大的困難。因為學生什么都問定義，比如物理系的老師來講課，他講到“力”，學生就要求給“力”下定義。這非常困難，因為老師很難用幾句話把“力”刻畫清楚，不像數學里講“圓”，就是從一點出發畫出的等距離的軌跡，說得多清楚。
數學為什么對定義有這么嚴格的要求呢？就以為它的對象抽象，你不通過定義把它界定清楚，就沒法討論。我經常開玩笑地說，學數學的人是非常笨的，他聽的東西，只要那個定義沒說清楚，他就聽不懂。在這個意義上，有它的好處，也有它的壞處。你什么都要定義，其實并不是所有的東西都可以下定義的。
數學的第三個特點是它的邏輯的嚴格性。因為它是抽象的，所以它的展開只能靠邏輯，這一點對我們來說也是非常重要的訓練。這我們可以從平面幾何來理解。學了平面幾何究竟起什么作用呢？年輕的時候，也就是念了大學的數學以后，我就宣稱平面幾何沒有用，一些難題現實中到哪里去找啊？20世紀50年代，我參加過中學數學的教學改革，就經常說平面幾何應該取消。但后來當了幾年教員后，我就發現，學過平面幾何和沒學過的學生有一點不一樣，就是你說要證明一個問題，學過平面幾何的學生很容易接受，但沒有學過的接受起來就比較困難。“文革”期間的學生，你讓他證明三角形的三個內角之和是180º，他們很多人就會說，這么簡單的問題還要你證啊？拿量角器量一下不就得了，搞得我們啼笑皆非。這就說明，邏輯思維能力是需要通過一些具體的東西來培養的，平面幾何就是培養人們邏輯思維能力的很好的媒介。過去我們曾經認為，通過上邏輯課可以直接獲得邏輯思維能力，為此，在中學還專門開過形式邏輯課，但最后證明效果很差，后來才知道人的邏輯思維能力是不能單單通過上邏輯課來培養的。
通過學習數學，能夠獲得很好的思維習慣、思想方法，在無形中會對我們起作用，舉個例子，“文革”中，經常下工廠聯系實際。我們中的很多人可能對工廠里的實際問題不清楚，但是只要你能把邏輯關系理清楚，就能知道它是個什么問題，已知的條件是什么，要解決的問題是什么。這就是我從學習數學中逐漸學到的。
不同專業的數學教學計劃，都涉及數學課安排多少的問題。我的看法，不是數學課越多越好，因為總的教學時間是有限的。考慮數學課的時候，應該從兩方面來考慮，一是數學對你未來可能從事的專業有沒有用，有多少用。用得多的，就要多下一些功夫。另一方面，還要顧及到數學是一個整體，學習數學可以培養一個人的的思想方法。為了培養思想方法，你就不能用多少學多少。這種情況是有的，在“文革”中，就曾經搞過數學結合專業講。專業里用到什么就講什么，完全把數學變成工具，這樣其實是學不好數學的。所以，數學課程的設置，既要考慮到用，又要考慮到數學是一個完整的體系，要使學生對數學的整個結構有比較清楚的了解。
用得著的東西要講，也不是所有用得著的東西都要講。數學知識可以分兩種，一種是比較基礎的，一定要學通；還有一種是屬于提高的，這些等到你用的時候再學還來得及。比如十幾年前，大家都感到計算機的用途越來越廣，于是就學習計算機語言。但后來的經驗是，語言學多了也沒有用。
有的同志經常說，數學是美的享受，這話我就不大懂。有些時候你可以說數學很美，但也就是說說，不能過分夸大。因為這不是數學的本質的規定性。
數學不只是知識，它同時培養人的能力，提高人的素質，能給人一無形中的影響。我經常碰到這樣一些學生，他們畢業已經很多年了，并且完全改了行。他們告訴我，在大學一年紀時聽過我的課，這些課對他們還是有影響的。聽了這些話我當然很高興。我覺得，他們講的不完全是恭維我的話，我講的那些內容可能他們早就忘了，那些公式、定理他們早就不記得了，但是他們也許在我的課上學會了一些思考問題的方法，這些方法能夠使他們終身受益。記得有位數學家講過這樣一句話，今天數學教育的質量，決定著明天科學人才的水平。我把這句話提供給大家，供大家參考。
（本文是丁石孫先生做的學術報告，有刪節）
丁石孫 1927年生。著名數學家，專于代數、數論。在代數、數論、應用代數、李代數理論的研究方面取得多項成果。 | 
