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一、數學認識的一般性與特殊性
數學作為對客觀事物的一種認識，與其他科學認識一樣，其認識的發生和發展過程遵循實踐——認識——再實踐的認識路線。但是，數學對象（量）的特殊性和抽象性，又產生與其他科學不同的、特有的認識方法和理論形式。由此產生數學認識論的特有問題。
數學認識的一般性
認識論是研究認識的本質以及認識發生、發展一般規律的學說，它涉及認識的來源、感性認識與理性認識的關系、認識的真理性等問題。數學作為對客觀事物的一種認識，其認識論也同樣需要探討這些問題；其認識過程，與其他科學認識一樣，也必然遵循實踐——認識——再實踐這一辯證唯物論的認識路線。
事實上，數學史上的許多新學科都是在解決現實問題的實踐中產生的。最古老的算術和幾何學產生于日常生活、生產中的計數和測量，這已是不爭的歷史事實。數學家應用已有的數學知識在解決生產和科學技術提出的新的數學問題的過程中，通過試探或試驗，發現或創造出解決新問題的具體方法，歸納或概括出新的公式、概念和原理；當新的數學問題積累到一定程度后，便形成數學研究的新問題（對象）類或新領域，產生解決這類新問題的一般方法、公式、概念、原理和思想，形成一套經驗知識。這樣，有了新的問題類及其解決問題的新概念、新方法等經驗知識后，就標志著一門新的數學分支學科的產生，例如，17世紀的微積分。由此可見，數學知識是通過實踐而獲得的，表現為一種經驗知識的積累。
這時的數學經驗知識是零散的感性認識，概念尚不精確，有時甚至導致推理上的矛盾。因此，它需要經過去偽存真、去粗取精的加工制作，以便上升為有條理的、系統的理論知識。
數學知識由經驗知識形態上升為理論形態后，數學家又把它應用于實踐，解決實踐中的問題，在應用中檢驗理論自身的真理性，并且加以完善和發展。同時，社會實踐的發展，又會提出新的數學問題，迫使數學家創造新的方法和思想，產生新的數學經驗知識，即新的數學分支學科。由此可見，數學作為一種認識，與其他科學認識一樣，遵循著感性具體——理性抽象——理性具體的辯證認識過程。這就是數學認識的一般性。
數學認識的特殊性
科學的區分在于研究對象的特殊性。數學研究對象的特殊性就在于，它是研究事物的量的規定性，而不研究事物的質的規定性；而“量”是抽象地存在于事物之中的，是看不見的，只能用思維來把握，而思維有其自身的邏輯規律。所以數學對象的特殊性決定了數學認識方法的特殊性。這種特殊性表現在數學知識由經驗形態上升為理論形態的特有的認識方法——公理法或演繹法，以及由此產生的特有的理論形態——公理系統和形式系統。因此，它不能像自然科學那樣僅僅使用觀察、歸納和實驗的方法，還必須應用演繹法。同時，作為對數學經驗知識概括的公理系統，是否正確地反映經驗知識呢？數學家解決這個問題與自然科學家不盡相同。特別是，他們不是被動地等待實踐的裁決，而是主動地應用形式化方法研究公理系統應該滿足的性質：無矛盾性、完全性和公理的獨立性。為此，數學家進一步把公理系統抽象為形式系統。因此，演繹法是數學認識特殊性的表現。
二、概括數學本質的嘗試
數學認識的一般性表明，數學的感性認識表現為數學知識的經驗性質；數學認識的特殊性表明，數學的理性認識表現為數學知識的演繹性質。因此，認識論中關于感性認識與理性認識的關系在數學認識論中表現為數學的經驗性與演繹性的關系。所以，認識數學的本質在于認識數學的經驗性與演繹性的辯證關系。那么數學哲學史上哲學家是如何論述數學的經驗性與演繹性的關系，從而得出他們對數學本質的看法的呢？
數學哲學史上最早探討數學本質的是古希臘哲學家柏拉圖。他在《理想國》中提出認識的四個階段，認為數學是處于從感性認識過渡到理性認識的一個階梯，是一種理智認識。這是柏拉圖對數學知識在認識論中的定位，第一次觸及數學的本質問題。
17世紀英國經驗論哲學家J.洛克在批判R.笛卡爾的天賦觀念中建立起他的唯物主義經驗論，表述了數學經驗論觀點。他強調數學知識來源于經驗，但又認為屬于論證知識的數學不如直覺知識清楚和可靠。
德國哲學家兼數學家萊布尼茨在建立他的唯理論哲學中，闡述了唯理論的數學哲學觀。他認為：“全部算術和全部幾何學都是天賦的”；數學只要依靠矛盾原則就可以證明全部算術和幾何學；數學是屬于推理真理。他否認了數學知識具有經驗性。
德國哲學家康德為了克服唯理論與經驗論的片面性，運用他的先驗論哲學，從判斷的分類入手，論述了數學是“先天綜合判斷”。由于這一觀點帶有先驗性和調和性，所以它并沒有解決數學知識的經驗性與演繹性的辯證關系。
康德以后，數學發展進入一個新時期，它的一個重要特點是公理化傾向。這一趨勢使大多數數學家形成一種認識：數學是一門演繹的科學。這種觀點的典型代表是數學基礎學派中的邏輯主義和形式主義。前者把數學歸結為邏輯，后者把數學看作是符號游戲。1931年哥德爾不完全性定理表明了公理系統的局限性和數學演繹論的片面性。這就使得一些數學家開始懷疑“數學是一門演繹科學”的觀點，提出，數學是一門有經驗根據的科學，但它并不排斥演繹法。這引起一場來自數學家的有關數學本質的討論。 拉卡托斯為了避免數學演繹論與經驗論的片面性，從分析數學理論的結構入手，提出數學是一門擬經驗科學。他說：“作為總體上看，按歐幾里得方式重組數學也許是不可能的，至少最有意義的數學理論像自然科學理論一樣，是擬經驗的。”盡管拉卡托斯給封閉的歐幾里得系統打開了第一個缺口，但是，擬經驗論實際上是半經驗論，并沒有真正解決數學性質問題，因而數學家對它以及數學哲學史上有關數學本質的概括并不滿意。1973年，數理邏輯學家A.羅賓遜說：“就應用辯證法來仔細分析數學或某一種數學理論（如微積分）而言，在我所讀的從黑格爾開始的這方面的著作中，還沒有發現經得起認真批判的東西。”因此，當計算機在數學中的應用引起數學研究方式的變革時，特別是當計算機證明了四色定理和借助計算機進行大量試驗而創立分形幾何時，再次引起了數學家們對“什么是證明？”“什么是數學？”這類有關數學本質的爭論。
三、數學本質的辯證性
正因為一些著名數學家不滿意對數學本質的概括，他們開始從數學研究的體驗來闡明數學的經驗性與演繹性的相互關系。D.希爾伯特說：數學的源泉就在于思維與經驗的反復出現的相互作用，馮·諾伊曼說：數學的本質存在著經驗與抽象的二重性；R.庫朗說：數學“進入抽象性的一般性的飛行， 必須從具體和特定的事物出發，并且又返回到具體和特定的事物中去”；而A.羅賓遜則寄希望于：“出現一種以辯證的研究方法為基礎的、態度認真的數學的哲學”。 本節將根據數學知識的三種形態（經驗知識、公理系統和形式系統）及其與實踐的關系，具體說明數學的經驗性與演繹性的辯證關系。
經驗知識是有關數學模型及其解決方法的知識。數學家利用數學和自然科學的知識，從現實問題中提煉或抽象出數學問題（數學模型），然后求模型的數學解（求模型解），并返回實踐中去解決現實問題。這一過程似乎是數學知識的簡單應用，但事實并非如此。因為數學模型是主觀對客觀的反映，而人的認識并非一次完成，特別是遇到復雜的問題時，需要修正已有的數學模型及其求解的方法和理論，并經多次反復試驗，才能解決現實問題。況且社會實踐的發展，使得舊的方法和知識在解決新問題時顯得繁瑣，甚至無能為力，從而迫使數學家發明或創造新的方法、思想和原理，并在實踐中得到反復檢驗，產生新的數學分支學科。這時的數學知識是在解決實踐提出的數學問題中產生的，屬于經驗知識，具有經驗的性質。
數學的經驗性向演繹性轉化 第一部分講過，數學經驗知識具有零散性和不嚴密性，有待于上升或轉化為系統的理論知識；而數學對象的特殊性使得這種轉化采取特殊的途徑和方法——公理法，產生特有的理論形態——公理系統。所以，數學的經驗性向演繹性的轉化，具體表現為經驗知識向作為理論形態的公理系統的轉化。
公理系統 是應用公理方法從某門數學經驗知識中提煉出少數基本概念和公理作為推理的前提，然后根據邏輯規則演繹出屬于該門知識的命題構成的一個演繹系統。它是數學知識的具體理論形態，是對數學經驗知識的理論概括。就其內容來說，是經驗的；但就其表現形式來說，是演繹的，具有演繹性質。因為數學成果（一般表現為定理）不能靠歸納或實驗來證實，而必須通過演繹推理來證明，否則，數學家是不予承認的。
公理系統就其對經驗知識的概括來說，是理性認識對感性認識的抽象反映。為了證實這種抽象反映的正確性，數學家采取兩種解決辦法。一是讓理論回到實踐，通過實際應用來檢驗、修改理論。歐幾里得幾何的不嚴密性就是通過此種方法改進的。二是從理論上研究公理系統應該滿足的性質：無矛盾性、完全性和公理的獨立性。這就引導數學家對公理系統的進一步抽象，產生形式系統。
形式系統 是形式化了的公理系統，是由形式語言、公理和推理規則組成的。它是應用形式化方法從不同的具體公理系統中抽象出共同的推理形式，構成一個形式系統；然后用有窮推理方法研究形式系統的性質。所以，形式系統是撇開公理系統的具體內容而作的進一步抽象，是數學知識的抽象理論形態。它采用的是形式推理的方法，表現其知識形態的演繹性。
數學的演繹性向經驗性的轉化 這除了前面說過的認識論原因外，對公理系統和形式系統的研究也證實了這種轉化的必要性。哥德爾不完全性定理嚴格證明了公理系統的局限性：（1 ）形式公理系統的相容性不可能在本系統內得到證明，必須求助于更強的形式公理系統才能證明。而相容性是對公理系統最基本的要求，那么在找到更強的形式公理系統之前，數學家只能像公理集合論那樣，讓公理系統回到實踐中去，通過解決現實問題而獲得實踐的支持。（2 ）如果包含初等算術的形式公理系統是無矛盾的，那么它一定是不完全的。這就是說，即使形式系統的無矛盾性解決了，它又與不完全性相排斥。“不完全性”是指，在該系統中存在一個真命題及其否定都不可證明（稱為不可判定命題）。所以，“不完全性”說明，作為對數學經驗知識的抽象的公理系統，不可能把屬于該門數學的所有經驗知識（命題）都包括無遺。對于“不可判定命題”的真假，只有訴諸實踐檢驗。因此，這兩種情況說明，要解決公理系統的無矛盾性和不可判定命題，必須讓數學的理論知識返回到實踐接受檢驗。
由此可見，數學的認識過程是：在解決現實問題的實踐基礎上獲得數學的經驗知識；然后上升為演繹性的理論知識（公理系統和形式系統）；再返回到實踐中，通過解決現實問題而證實自身的真理性，完善或發展新的數學知識。這是辯證唯物論的認識論在數學認識論上的具體表現，反映了數學本質上是數學知識的經驗性與演繹性在實踐基礎上的辯證統一。
四、數學是一門演算的科學 既然數學的本質是經驗性與演繹性在實踐基礎上的辯證統一，那么能否對數學的本質進一步作出哲學概括呢？即用簡潔的語言表達數學的本質，就像拉卡托斯說的“數學是擬經驗的科學”那樣。為此，本文提出，數學是一門演算的科學（其中“演”表示演繹，“算”表示計算或算法，“演算”表示演與算這對矛盾的對立統一）。在此，必須說明三點：何以如此概括？“演算”能否反映數學研究的特點以及能否反映數學本質的辯證性？
1.何以如此概括？ 首先，從理論上講，數學本質是數學觀的一個重要問題，而數學觀與數學方法論是統一的，所以可以通過方法論來分析數學觀。數學認識對象的特殊性決定了數學認識方法的特殊性。這種特殊性表現在，數學研究除了像自然科學那樣僅僅采用觀察、實驗、歸納的方法外，還必須采用演繹法。因此，可以通過研究數學認識方法來反映數學認識的本質。
其次，從事實上看，數學知識的經驗性表明數學是適應社會實踐需要而產生的，是解決實際問題的經驗積累。社會實踐提出的數學問題都要求給出定量的回答，而要作出定量的回答就必須進行具體的計算，所以計算表征了數學經驗知識的特點。而對于各種具體的計算方法及其一般概括的“算法”（包括公式、原理、法則），也都可以用“算”來概括、反映數學知識的經驗性在方法論上的計算或算法特點。同時，數學知識的演繹性反映數學認識在方法論上的演繹特點，所以，可以用“演”來反映數學知識的演繹性。因此，我們可以用“演算”來反映數學本質的經驗性與演繹性。
第三，為避免概括數學本質的片面性。自從數學分為應用數學與純粹數學以后，許多數學家認為，數學來源于經驗是很早以前的事，現在已經不是了，而是變成一門演繹科學了。而一般人也接受這種觀點。但這樣強調數學的演繹性特點，卻忽視了數學具有經驗性質的一面。為了避免這種片面性，這里特別通過數學方法論來概括和反映數學的本質。
2.“演算”反映了數學研究的特點
數學研究對象的特殊性產生了數學研究特有的問題：計算與證明。它們成為數學研究的兩項主要工作。關于“證明”。數學對象的特殊性使得數學成果不能像自然科學成果那樣通過實驗來證實，而必須通過邏輯演繹來證明，否則數學家是不予承認的。所以，數學家如何把自己的成果表達成一系列的演繹推理（即證明）就成為重要工作。證明成為數學研究工作的重要特點。關于“計算”。數學本身就是起源于計算，即使數學發展到高度抽象理論的今天，也不能沒有計算。數學家在證明一個定理之前，必須經過大量的具體計算，進行各種試驗或實驗，并加以分析、歸納，才能形成證明的思路和方法。只有在這時候，才能從邏輯上進行綜合論證，表達為一系列的演繹推理過程，即證明。從應用數學來看，更是需要大量的計算，所以人們才發明各種計算機。在電子計算機廣泛應用的今天，計算的規模更大了，以致在數學中出現數值實驗。因此，計算成為數學研究的另一項重要工作。
既然“計算與證明”是數學研究的兩項主要工作和特點，那么“數學是演算的科學”這一概括是否反映出這一特點？“證明”是從一定的前提（基本概念和公理）出發，按照邏輯規則所進行的一種演繹推理。而“演（繹）”正可以反映“證明”這一特點。而“算”顯然更可以直接反映“計算”或“算法”及其特點。由此可見，“演算”反映了數學研究的計算和證明這兩項基本工作及其特點。
3.“演”與“算”的對立統一反映數學性質的辯證性 首先，從數學發展的宏觀來看。數學史告訴我們，數學起源于“算”，即起源于物體個數、田畝面積、物體長度等的計算。要計算就要有計算方法，當各種計算方法積累到一定數量的時候，數學家就進行分類，概括出適用于某類問題的計算公式、法則、原理，統稱為算法。所以數學的童年時期叫做算術，它表現為一種經驗知識。當歐幾里得建立數學史上第一個公理系統時，才出現“演繹法”。此后，“演”與“算”便構成了數學發展中的一對基本矛盾，推動著數學的發展。這在西方數學思想史中表現最為突出。大致說來，在歐幾里得以前，數學思想主要是算法；歐幾里得所處的亞歷山大里亞前期，數學主要思想已由算法轉向演繹法；從亞歷山大里亞后期到18世紀，數學主要思想再次由演繹法轉向算法；19世紀到20世紀上半葉，數學主要思想又由算法轉向演繹法；電子計算機的應用促進了計算數學的發展及其與之交叉的諸如計算流體力學、計算幾何等邊緣學科的產生以及數學實驗的出現。這一切又使算法思想重新得到發展，成為與演繹法并駕齊驅的思想。可以預言，隨著計算機作為數學研究工具地位的確立，算法思想將成為今后相當長一個時期數學的主要思想。算法思想與演繹思想在數學發展過程中的這種更迭替代，從一個側面體現了“演”與“算”這對矛盾在一定條件下的相互轉化。所以，有的數學史工作者從方法論的角度把數學的發展概括為算法傾向與演繹傾向螺旋式交替上升的過程。
其次，從數學研究的微觀來看。“演”中有“算”，這充分表明了我們上面所分析的“證明”中包含著“計算”，包含著“算”向“演”轉化。“算”中有“演”，這充分表現在算術和代數中。算術和代數表現為“算”，但是，算術和代數的“算”，并不是自由地計算，而是要遵循基本的四則運算及其規律，即計算要按照一定的計算規則，就像證明要遵守推理規則一樣。所以“算”中包含著“演”，包含著“演”向“算”的轉化。“演”與“算”的這種對立統一更充分地體現在計算機的數值計算和定理證明中。這種“算”與“演”的對立統一關系，從一個側面反映了數學的經驗性與演繹性的辯證關系，反映了數學性質的辯證性。
綜上所述，既然“演算”概括了數學研究的特點，反映了數學的經驗性與演繹性及其辯證關系，我們就有理由把它作為對數學本質的概括，說“數學是一門演算的科學”。
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